Definición Dados dos números positivos, b y x, definimos logaritmo en base b de x a un número y tal que by = x, y lo escribimos de la forma y = logb x. Es decir: y = logb x si, y sólo si by = x b se llama base de los logaritmos, x es el número del que queremos calcular el logaritmo e y es el logaritmo en base b de x. Por tanto, y = logb x se lee «y igual al logaritmo en base b de x» y significa que la base b, elevada al logaritmo y, es igual a x. Hemos definido los logaritmos sólo de los números positivos, luego con arreglo a la definición sólo se podrán calcular los logaritmos de los números positivos. Y puesto que los logaritmos se pueden calcular en distintas bases, un mismo número puede tener distintos logaritmos en bases distintas. Veamos algunos ejemplos: Calcular log2 8: Escribimos y = log2 8, y ese número y, que tratamos de calcular, debe ser tal que 2y = 8; pero como 8 = 23 podemos escribir 2y = 23 por lo que y = 3. Por consiguiente, log2 8 = 3. Calcular log3 9: Igual que antes, buscamos un número y tal que y = log3 9, es decir, buscamos un número y tal que 3y = 9 y como 9 = 32, escribimos 3y = 32 por lo que y = 2. Por tanto log3 9 = 2. Calcular log5 Hacemos como siempre por lo que y 125 = 53, luego pero 53 en el denominador lo podemos pasar al numerador cambiando el signo al exponente 1/53 = 5–3 y así tenemos 5y = 5–3, deducimos entonces que y = –3, lo que significa que Calcular log1/4 1024. Escribimos y = log1/4 1024, por lo que = 1024. Y, como hemos hecho en los ejemplos anteriores, escribimos el número del que queremos calcular el logaritmo en forma de potencia de la base: 1024 = 45, para ello no tienes más que dividir 1024 sucesivamente por 4: y como has dividido cinco veces por cuatro hasta obtener el resto 0, escribes 1024 = 45. Por consiguiente en la primera ecuación tienes: = 45 ; pero , porque para elevar una fracción a una potencia se eleva cada uno de sus términos a esa potencia. Además, 1 elevado a cualquier exponente es siempre 1. Luego 1y = l. Queda la ecuación anterior de la forma: pero sabes que por tanto de donde deduces que y = – 5. Luego log1/4 1024 = – 5. Este es el procedimiento que se sigue para el cálculo de logaritmos de números sencillos en bases también sencillas (cuando el número sea una potencia de la base): la base elevada al logaritmo que queremos calcular, debe ser igual al número del que tratamos de calcular el logaritmo; a continuación se descompone el número en potencias de la base y se igualan los exponentes.